Tarea 6

Al parecer algo que no deja muy en claro es la relación que hay entre una norma y una métrica (la forma de medir la distancia entre los elementos de un conjuto). Investigando un poco sobre espacios métricos, resultan ser en mi opinión, los espacios más simples y generales que tienen al menos una propiedad. Curiosamente encontré un link del mismo autor, donde comienza hablando precisamente sobre los espacios normados y ahí es un poco más clara la diferencia.

http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/Funcional/AFTema1_2.pdf

Para tener un espacio métrico únicamente es necesario un conjunto X y una métrica d(a,b) que cumple las siguientes propiedades:

i) d(a,b) ≥ o,  para todo a,b pertenecientes a X, d(a,b) = 0 ssi a = b (positiva definida)
ii) d(a,b) = d(b,a),  para todo a,b pertenecientes a X, (simetría reflexiva)
iii) d(a,c) < d(a,b) + d(b,c),  para todo a, b y c pertenecientes a X, donde a ≠ b ≠ c (desigualdad del triángulo)

En ese sentido prácticamente cualquier conjunto con con un mínimo de dos elementos distintos puede ser un espacio métrico.

En forma de función d se define como

d: X x X ----> R≥o

Ejemplo:

( N, discreta )

El conjunto de los números naturales con la métrica d(a,b)=1 si a y b son distintos.

De manera que no necesitamos definir un campo escalar, un E.V. operaciones entre los elementos o cualquier otro aparato matemático como se hace para definir la norma.

La norma de un espacio vectorial se define como una función

|| || : V ----> R≥0

que satisface las propiedades:

i) ||øv|| = |ø| ||v||,  ø e un del campo K y v es un elemento de V
ii) ||v + u|| ≤ ||v|| + ||u||,  u y v pertenecen al espacio V (desigualdad del triángulo)
iii) ||v|| = 0 entonces v = 0

Es fácil de notar que cualquier norma que uno defina puede verse como una métrica puesto que cumplen casi las mismas propiedades, las grandes diferencias son que la métrica es para la distancia entre dos elementos de un espacio cualquiera aunque no este definida ninguna operación entre ellos, en cambio la norma esa particular de los espacios vectoriales y sirve para denotar la longitud de un vector además de cumplir con la propiedad de poder extraer el escalar de la norma la cual no es requisito para la métrica. Otra diferencia es el hecho de que como funciones, una es una función de dos variables mientras que la otra es una función de una sola variable.

Lo que puede causar un poco de confusión es el hecho de que en los espacios en los que estamos acostumbrados a pensar en términos de espacios donde la norma y la métrica siempre coinciden y no distinguir una de la otra.