Ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de Hamilton representan un modo alternativo de tomar las variables que determinan un sistema. 

Hamilton propuso considerar en lugar de las variables , t, qi, dqi/dt(variables de Lagrange, con n el número de grados de libertad del sistema) las magnitudes fundamentales t, qi, pi (variables de Hamilton) siendo pi los impulsos generalizados.

Puede demostrarse que el jacobiano de los impulsos generalizados, que constituye por definición de momento el hessiano de la función de Lagrange, es distinto de cero; luego es posible resolver las dqi/dt en la forma

Es decir, encontramos que las variables de Hamilton pueden ser expresadas en función de las variables de Lagrange, y viceversa con lo que podemos caracterizar el estado del sistema con cualquiera de los dos conjuntos.

Hamilton introdujo la función :

(función de Hamilton) que se define matemáticamente como la transformada de Legèndre de la función de Lagrange (Básicamente lo que se hace mediante esta transformación es la creación, a partir de una función dada de hessiano no nulo, de una nueva función expresada en términos de unas nuevas coordenadas relacionadas con las anteriores por medio de una transformación admisible) es decir

y demostró (se trata de un resultado que se deriva de la transformada de Legèndre) que usando esta función se pueden expresar las ecuaciones de movimiento por medio del siguiente sistema de 2n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Asimismo es posible, usando la definición de momento canónico, dar la siguiente identidad

Transformaciones de Legendre

Corchetes de Poisson

Para el movimiento

Sea una integral de las ecuaciones de Hamilton. Entonces, si se sustituye (donde n es el número de grados de libertad del sistema) por cualquier solución del sistema, la función f se convierte en una constante por la propia definición de integral de movimiento,es decir

En notación de Poisson, esto significa que una función f es integral del sistema si y solo si cumple

Donde [f,H] se define como corchetes o paréntesis de Poisson.

Existe una relación formalmente idéntica a ésta en mecánica cuántica que establece la condición necesaria y suficiente para que un observable sea una constante del movimiento en el sentido clásico.

Los paréntesis de Poisson satisfacen las condiciones de

1. Linealidad
2. Asociatividad
3. Anti simetría
4. Identidad de Jacobi

Y son análogas a los conmutadores en mecánica cuántica.

Mecánica Teórica

OSCILACIONES

Introducción

Se dice que un sistema cualquiera; mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador amónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.

La característica principal de un oscilador armónico es que está sometido a una fuerza recuperadora, que tiende a devolverlo al punto de equilibrio estable, con una intensidad proporcional a la separación respecto de dicho punto,

donde  k  es la constante de recuperación y x₀ es la posición de equilibrio, que sin perdida de generalidad se puede tomar x₀ = 0

Frecuencia natural donde 

La fuerza recuperadora es conservativa, por lo que tiene asociado una energía potencial,

  

Oscilador armónico simple

Es el caso más sencillo, donde únicamente se considera la fuerza recuperadora. Teniendo en cuenta que

Y que

se obtiene

La solución general a esta ecuación se puede escribir de la forma

Donde A y Φ se obtienen por lo general en las condiciones iníciales.

Un método para encontrar la solución del oscilador armónico simple es la siguiente:

Se multiplica por
 

Integrando con dt queda de la siguiente forma:

En t=0

Por lo tanto

Oscilador armónico amortiguado (fricción)

Consiste en tomar en cuenta la fricción que tiende a amortiguar la oscilación. El modelo más usual consiste en tomar un rozamiento proporcional a la velocidad.

Con lo que la ecuación diferencial, obtenida a partir de la segunda ley de Newton, queda de la siguiente forma:

Donde . La solución general a esta ecuación depende de la relación entre. Teniendo tres casos:

1) Sub-amortiguado o ligeramente amortiguado.

Este es el caso donde, con raíces imaginarias, y su solución queda de la siguiente forma:

Donde 

2) Críticamente amortiguado.

En este caso, con raíces reales e iguales, la solución general es:

3) Sobre amortiguado.

Por ultimo, tenemos el caso , con raíces reales, la nueva solución general es:

Donde

PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN

Introducción.

El principio de mínima acción, principio de acción estacionaria o principio de Hamilton es un presupuesto básico de la mecánica clásica y la mecánica relativista para describir la evolución a lo largo del tiempo del estado de movimiento de una partícula como de un campo físico. También en mecánica cuántica Feynman y Kac intentaron formulaciones inspiradas en el principio.

Desarrollo.

La formulación del pricipio para un sistema lagrangiano es: fijado un sistema de coordenadas generalizadas sobre el espacio de configuración (o una parte del mismo, llamada carta local), se tiene que todas las trayectorias posibles que transcurren entre el instante t₁ y t₂, el sistema escogerá aquella que minimice la acción S. La magnitud acción viene dada para cada trayectoria por la integral:

Donde:
son las coordenadas paramétricas de una trayectoria posible.

Lagranjiano à 

Teorema de Taylor  para 2 dimensiones.

Donde la segunda integral se hace cero, y quedando únicamente la primera, se integrara por partes.