OSCILACIONES
Introducción
Se dice que un sistema cualquiera; mecánico,
eléctrico, neumático, etc. es un oscilador amónico si cuando se deja en
libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo
oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha
posición estable.
La característica principal de un oscilador
armónico es que está sometido a una fuerza recuperadora, que tiende a
devolverlo al punto de equilibrio estable, con una intensidad proporcional a la
separación respecto de dicho punto,
donde k es
la constante de recuperación y x0 es la posición de equilibrio, que
sin perdida de generalidad se puede tomar x0 = 0
Frecuencia natural donde
La fuerza recuperadora es conservativa, por
lo que tiene asociado una energía potencial,
Oscilador
armónico simple
Es el caso más sencillo, donde únicamente se
considera la fuerza recuperadora. Teniendo en cuenta que
Y
que
se
obtiene
La
solución general a esta ecuación se puede escribir de la forma
Donde A
y Φ se obtienen por lo general en las condiciones iníciales.
Un método para encontrar la solución del
oscilador armónico simple es la siguiente:
Integrando con dt queda de la siguiente forma:
En t=0
Por lo tanto
Oscilador
armónico amortiguado (fricción)
Consiste en tomar en cuenta la fricción que
tiende a amortiguar la oscilación. El modelo más usual consiste en tomar un
rozamiento proporcional a la velocidad.
Donde 
. La
solución general a esta ecuación depende de la relación entre
. Teniendo tres casos:
. La
solución general a esta ecuación depende de la relación entre. Teniendo tres casos:
1)
Sub-amortiguado o ligeramente amortiguado.
Este es el caso donde
,
con raíces imaginarias, y su solución queda de la siguiente forma:
,
con raíces imaginarias, y su solución queda de la siguiente forma:
Donde
2)
Críticamente amortiguado.
En este caso
,
con raíces reales e iguales, la solución general es:
,
con raíces reales e iguales, la solución general es:
3)
Sobre amortiguado.
Por ultimo, tenemos el caso
,
con raíces reales, la nueva solución general es:
,
con raíces reales, la nueva solución general es:
Donde
PRINCIPIO DE MÍNIMA
ACCIÓN
Introducción.
El principio de mínima acción, principio de
acción estacionaria o principio de Hamilton es un presupuesto básico de la
mecánica clásica y la mecánica relativista para describir la evolución a lo
largo del tiempo del estado de movimiento de una partícula como de un campo
físico. También en mecánica cuántica Feynman y Kac intentaron formulaciones
inspiradas en el principio.
Desarrollo.
La formulación del pricipio para un sistema
lagrangiano es: fijado un sistema de coordenadas generalizadas sobre el espacio
de configuración (o una parte del mismo, llamada carta local), se tiene que
todas las trayectorias posibles que transcurren entre el instante t1
y t2, el sistema escogerá aquella que minimice la acción S. La magnitud acción viene dada para
cada trayectoria por la integral:
son las coordenadas paramétricas de una
trayectoria posible.
Lagranjiano à
Teorema
de Taylor para 2 dimensiones.
Donde la segunda integral se hace cero, y
quedando únicamente la primera, se integrara por partes.
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