Construyendo la ecuación de Schrödinger

Hola compañeros, 

     Aquí les dejo el enlace para un video muy simple y rápido de cómo deducir la ecuación de Schrödinger. Lo poquito tramposo es que parte de que es de entrada una ecuación de onda. 

     Vale la pena y espero les guste. Saludos.

http://www.youtube.com/watch?v=IsX5iUKNT2k

Tutorial QuTiP (Quantum Toolbox in Python)

¡Hola!

Desarrollamos un pequeño y muy básico tutorial para un software en Python que facilita la posibilidad de resolver problemas cuánticos en pocas líneas de código ya que cuenta con funciones ya definidas de los valores de los operadores, de la ecuación de Schrödinger, de Wigner, entre otras útiles funciones. Este programa puede ser instalado en cualquier plataforma y es un software gratuito.

Aquí pueden descargar el tutorial donde pueden encontrar los links para descargar y cómo utilizar algunas de las funciones principales. Espero que les sirva.

TUTORIAL

Álgebra Lineal

By Carlos Rodríguez & Jannette Corona

Álgebra Lineal

I. Espacios vectoriales y transformaciones lineales

v  Estructuras algebraicas básicas

Conjuntos, matrices, operaciones de matrices (producto escalar y vectorial), matriz diagonal, matriz transpuesta, matriz triangular superior e inferior, calcular determinantes, relaciones de equivalencia (simetría, reflexividad, transitividad), formas canónicas.

Definición de grupo, grupo Abeliano con sus propiedades, los anillos y sus propiedades hasta llegar a lo que es un campo.

v  Espacios y subespacios

Espacios vectoriales y sus propiedades. Subespacios y propiedades, independencia linear. Dimensión de espacios vectoriales y rango.

v  Bases y combinación lineal

Bases de los espacios y la representación de estas como combinación lineal de matrices.

v  Morfismos, Homomorfismos e Isomorfismos

Transformaciones lineales, operadores lineales, funciones lineales, Kernel e Imagen de isomorfismos, matriz de cambio de base, cambio de bases de transformaciones lineales, matrices de equivalencia, matrices similares, morfismos y homomorfismos.

II. Teoría Espectral y formas canónicas

v  Valores y Vectores propios

v  Formas canónicas

Forma canónica de Jordan

v  Matrices polinomiales

III. Operadores y formas bilineales

v  Espacios con producto interno

Producto interno, norma y distancia, desigualdad del triángulo.

v  Operadores ortogonales y ortonormales

Ortogonalidad, normalización de vectores, proyección y bases ortonormales.

 A continuación se encuentra un link hacia algunos ejercicios que resolvimos en clase.

Click aquí para ver los ejercicios

     Hola compañeros, aquí les dejo un trabajo que realizamos como proyecto final que hicimos para el curso de física cuántica 2013 A. Espero les guste.

Ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de Hamilton representan un modo alternativo de tomar las variables que determinan un sistema. 

Hamilton propuso considerar en lugar de las variables , t, qi, dqi/dt(variables de Lagrange, con n el número de grados de libertad del sistema) las magnitudes fundamentales t, qi, pi (variables de Hamilton) siendo pi los impulsos generalizados.

Puede demostrarse que el jacobiano de los impulsos generalizados, que constituye por definición de momento el hessiano de la función de Lagrange, es distinto de cero; luego es posible resolver las dqi/dt en la forma

Es decir, encontramos que las variables de Hamilton pueden ser expresadas en función de las variables de Lagrange, y viceversa con lo que podemos caracterizar el estado del sistema con cualquiera de los dos conjuntos.

Hamilton introdujo la función :

(función de Hamilton) que se define matemáticamente como la transformada de Legèndre de la función de Lagrange (Básicamente lo que se hace mediante esta transformación es la creación, a partir de una función dada de hessiano no nulo, de una nueva función expresada en términos de unas nuevas coordenadas relacionadas con las anteriores por medio de una transformación admisible) es decir

y demostró (se trata de un resultado que se deriva de la transformada de Legèndre) que usando esta función se pueden expresar las ecuaciones de movimiento por medio del siguiente sistema de 2n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Asimismo es posible, usando la definición de momento canónico, dar la siguiente identidad

Transformaciones de Legendre

Corchetes de Poisson

Para el movimiento

Sea una integral de las ecuaciones de Hamilton. Entonces, si se sustituye (donde n es el número de grados de libertad del sistema) por cualquier solución del sistema, la función f se convierte en una constante por la propia definición de integral de movimiento,es decir

En notación de Poisson, esto significa que una función f es integral del sistema si y solo si cumple

Donde [f,H] se define como corchetes o paréntesis de Poisson.

Existe una relación formalmente idéntica a ésta en mecánica cuántica que establece la condición necesaria y suficiente para que un observable sea una constante del movimiento en el sentido clásico.

Los paréntesis de Poisson satisfacen las condiciones de

1. Linealidad
2. Asociatividad
3. Anti simetría
4. Identidad de Jacobi

Y son análogas a los conmutadores en mecánica cuántica.

Mecánica Teórica

OSCILACIONES

Introducción

Se dice que un sistema cualquiera; mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador amónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.

La característica principal de un oscilador armónico es que está sometido a una fuerza recuperadora, que tiende a devolverlo al punto de equilibrio estable, con una intensidad proporcional a la separación respecto de dicho punto,

donde  k  es la constante de recuperación y x₀ es la posición de equilibrio, que sin perdida de generalidad se puede tomar x₀ = 0

Frecuencia natural donde 

La fuerza recuperadora es conservativa, por lo que tiene asociado una energía potencial,

  

Oscilador armónico simple

Es el caso más sencillo, donde únicamente se considera la fuerza recuperadora. Teniendo en cuenta que

Y que

se obtiene

La solución general a esta ecuación se puede escribir de la forma

Donde A y Φ se obtienen por lo general en las condiciones iníciales.

Un método para encontrar la solución del oscilador armónico simple es la siguiente:

Se multiplica por
 

Integrando con dt queda de la siguiente forma:

En t=0

Por lo tanto

Oscilador armónico amortiguado (fricción)

Consiste en tomar en cuenta la fricción que tiende a amortiguar la oscilación. El modelo más usual consiste en tomar un rozamiento proporcional a la velocidad.

Con lo que la ecuación diferencial, obtenida a partir de la segunda ley de Newton, queda de la siguiente forma:

Donde . La solución general a esta ecuación depende de la relación entre. Teniendo tres casos:

1) Sub-amortiguado o ligeramente amortiguado.

Este es el caso donde, con raíces imaginarias, y su solución queda de la siguiente forma:

Donde 

2) Críticamente amortiguado.

En este caso, con raíces reales e iguales, la solución general es:

3) Sobre amortiguado.

Por ultimo, tenemos el caso , con raíces reales, la nueva solución general es:

Donde

PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN

Introducción.

El principio de mínima acción, principio de acción estacionaria o principio de Hamilton es un presupuesto básico de la mecánica clásica y la mecánica relativista para describir la evolución a lo largo del tiempo del estado de movimiento de una partícula como de un campo físico. También en mecánica cuántica Feynman y Kac intentaron formulaciones inspiradas en el principio.

Desarrollo.

La formulación del pricipio para un sistema lagrangiano es: fijado un sistema de coordenadas generalizadas sobre el espacio de configuración (o una parte del mismo, llamada carta local), se tiene que todas las trayectorias posibles que transcurren entre el instante t₁ y t₂, el sistema escogerá aquella que minimice la acción S. La magnitud acción viene dada para cada trayectoria por la integral:

Donde:
son las coordenadas paramétricas de una trayectoria posible.

Lagranjiano à 

Teorema de Taylor  para 2 dimensiones.

Donde la segunda integral se hace cero, y quedando únicamente la primera, se integrara por partes.

Gráfica que vimos en clase

Hola les posteo lo que hicimos en clase, en mathematica, si tienen alguna duda o no entienden algo, me dicen, para explicarles.

Les dejo el link a Dropbox:


Link a dropbox

Tutorial básico en Mathematica

Este es un tutorial de lo que vimos la clase del Martes 3 de Septiembre.
Si ven algún error o algo que no se entienda, me avisan y corrijo. 

Click para descargar.
Tutorial

Experimento de doble rendija

Aquí la liga de un video my padre sobre el experimento de doble rendija con una partícula cuántica. Una animación muy elaborado de lo que pasa y como uno lo puede imaginar (en el sentido de "entender")

Dualidad, onda partícula (doble rendija)

Bienvenidos 2013B

Hola! vine a publicar sobre lo que mas o menos queremos hacer nuestro proyecto, sera básicamente una investigación sobre el comportamiento cuántico de las partículas sobre el grafeno, como saben el grosor del grafeno es de las dimensiones de un átomo, por lo tanto todo lo que "pase por ahí" debería de tener un comportamiento cuántico, así que en la investigación trataremos de tocar temas como:
Conductividad
Efecto hall cuántico
Electrodinámica cuántica

y bueno.. por si quieren leer un poquito sobre el grafeno, sus propiedades y porque demonios gano el nobel hace unos años, les dejo un link para que se entretengan! (:
http://arxiv.org/pdf/1011.0444.pdf

Lo que no entendí + un poco de lo que busqué...

JESÚS CARLOS TOSCANO FIGUEROA


En particular no comprendía cómo era posible la formula (7) del articulo. [Página 6]

 la única manera en la que la veía válida era cuando

||x + i y||^2  =  ||x - i y||^2

  

 Puesto que: 

Pero después de desarrollar ví que 

                                    ||x + i y||^2  - ||x - i y||^2 = 4 Im[(x|y)] 

 me dí cuenta de que mi error recaía en el hecho considerar de que la ecuacion (7) era sólo para los reales... pero lo generaliza para los complejos. Es decir todo lo que hace es expresar a (x|y) de la siguiente forma:

                           (x|y) = 1/4 { Re[(x|y)] + i Im[(x|y)]  }   =  Expresión (7)

En fín espero que les sirva....

honestamente me econtré con otros conceptos que no entendí, entre ellos desde:
1.- ¿¿¿Qué es P en el comienzo de la pagina 8 del documento...????
¿¿¿Será la potencia a la que tienes que elevar la norma en un espacio de dimensión N ???

(Sí alguien me lo confirma se los agradecería.... en fin yo creo que sí)

2.-  ¿Que es una Medida de Lebesgue?  Y pues lo "wikipedié" pero entendí muy poco...

al parecer lo mas importante de el tema es que:  La medida de Lebesgue es una manera de asignar  longitudes, areas y volúmenes en espacios euclideos  n-dimensionales..

3.-  Dual, ,, no comprendí  la mayoría de lo que involucra al "espacio dual", pero allí habría que darle una recordada a los rebuscados apuntes de multilineal... o algun librito de algebra para retomarlo...

JESÚS CARLOS TOSCANO FIGUEROA